아래 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $r$, 높이가 $4r$ 인 원뿔이 다음 조건을 만족시킨다.
이때, $\overline{PQ}^{2}$ 의 최솟값을 구하시오. (단, $r > 8$) A. $32$A. $32$ B. $16$ C. $34$ D. $42$ E. $30$
1. 다음 그림과 같이 원뿔의 밑면의 중심 $O$와 점 $P'$을 지나는 직선을 $x$축, 중심 $O$와 점 $Q'$을 지나면서 $x$축에 수직인 직선을 $y$축, 중심 $O$와 꼭짓점 $A$를 지나는 직선을 $z$축이라 하자. 2. $\overline{OP'}=x$ 라 하면 두 점 $A$, $P$를 지나는 $zx$평면 위의 직선의 방정식은 $z=-{4}x+{4}r$ 이므로 점 $P$의 좌표는 $\left({x}, \; {0}, \; {4}r-{4}x\right)$이다. 조건 (다)에서 $\overline{OP'} + \overline{OQ'}=8$이므로 $\overline{OQ'}={8}-{x}$ $\;$ (단, ${0}<{x}<{8}$) 따라서 두 점 $A$, $Q$를 지나는 $yz$평면 위의 직선의 방정식은 $z=-{4}y+{4}r$이므로 점 $Q$의 좌표는 $\left({0}, \; {8}-{x}, \; {4}r-{32}+{4}x\right)$3. $\therefore$ $\; \overline{PQ} = \sqrt{{x}^{2} + \left({x} - {8}\right)^{2} + \left({8}x - {32}\right)^{2}}$ $ = \sqrt{{66}\left({x} - {4}\right)^{2} + {32}}$ $\therefore$ $\; \overline{PQ}^2 = {66}\left({x} - {4}\right)^{2} + {32}$ $\;$ (단 ${0}<{x} < {8}$) 따라서 $x=4$일 때, $\overline{PQ}^2$의 최솟값은 $32$이다. No More Steps
